曲线C：y=1x的切线l被坐标轴所截得线段的长的最小值为______．

题型：武汉模拟难度：来源：

曲线C：y=

1

x

的切线l被坐标轴所截得线段的长的最小值为______．

答案

由导数的公式可得y′=-

1

2

x-

3

2

，
则过（ x0，

1

x 0

）点的切线方程为 y-

1

x 0

=-

1

2

x 0-

3

2

(x-x0)，
由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A（ 3x₀，0），B（0，

3

2 x 0

）．
则|AB|²=9

x

20

+

9

4x 0

=9x

20

+

9

8 x  0

+

9

8x 0

≥3•

3	9 x 20 • 9 8x    0 • 9 8x  0

=

27

4

，
∴|AB|≥

3 3

2

，当且仅当

9x

20

=

9

8x  0

，等号成立．
故答案为

3 3

2

．