已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn(n∈N*,a>0,b>0).(Ⅰ)当a=b时,求数列{un}的前n项和Sn;(Ⅱ)求limn→∞

已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn(n∈N*,a>0,b>0).(Ⅰ)当a=b时,求数列{un}的前n项和Sn;(Ⅱ)求limn→∞

题型:天津难度:来源:
已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn(n∈N*,a>0,b>0).
(Ⅰ)当a=b时,求数列{un}的前n项和Sn
(Ⅱ)求
lim
n→∞
un
un-1
答案
(Ⅰ)当a=b时,un=(n+1)an.这时数列{un}的前n项和Sn=2a+3a2+4a3++nan-1+(n+1)an. ①
①式两边同乘以a,得aSn=2a2+3a3+4a4++nan+(n+1)an+1
①式减去②式,得(1-a)Sn=2a+a2+a3++an-(n+1)an+1
若a≠1,(1-a)Sn=
a(1-an)
1-a
-(n+1)an+1+a,
Sn=
a(1-an)
(1-a)2
+
a-(n+1)an+1
1-a
=
(n+1)an+2-(n+2)an+1-a2+2a
(1-a)2

若a=1,Sn=2+3++n+(n+1)=
n(n+3)
2

(Ⅱ)由(Ⅰ),当a=b时,un=(n+1)an
lim
n→∞
un
un-1
=
lim
n→∞
(n+1)an
nan-1
=
lim
n→∞
a(n+1)
n
=a.
当a≠b时,un=an+an-1b++abn-1+bn=an[1+
b
a
+(
b
a
)2
+(
b
a
)n
]=an
1-(
b
a
)n+1
1-
b
a
=
1
a-b
(an+1-bn+1
此时,
un
un-1
=
an+1-bn+1
an-bn

若a>b>0,
lim
n→∞
un
un-1
=
lim
n→∞
an+1-bn+1
an-bn
=
lim
n→∞
a-b(
b
a
)
n
1-(
b
a
)
n
=a.
若b>a>0,
lim
n→∞
un
un-1
=
lim
n→∞
a(
a
b
)
n
-b
(
a
b
)
n
-1
=b.
举一反三
设函数f(x)=x-In(x+m),其中常数m为整数.
(1)当m为何值时,f(x)≥0;
(2)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.
试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)=0,在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根.
题型:广东难度:| 查看答案
lim
x→1
1
x2-3x+2
-
2
x2-4x+3
)=(  )
A.-
1
2
B.
1
2
C.-
1
6
D.
1
6
题型:陕西难度:| 查看答案
lim
n→∞
23n-32n+1
23n+32n
=______.
题型:重庆难度:| 查看答案
lim
x→1
a
1-x
-
b
1-x2
)=1,则常数a,b的值为(  )
A.a=-2,b=4B.a=2,b=-4C.a=-2,b=-4D.a=2,b=4
题型:湖北难度:| 查看答案
若(1-2x9展开式的第3项为288,则
lim
n→∞
(
1
x
+
1
x2
+…+
1
xn
)
的值是(  )
A.2B.1C.
1
2
D.
2
5
题型:福建难度:| 查看答案
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