若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于______.

若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于______.

题型:包头三模难度:来源:
若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于______.
答案
∵f(x)=2x,∴f(a)=2a,即为切线的斜率,
∴切线的方程:y-a2=2a(x-a),即为y=2ax-a2
切线与两个坐标轴的交点为A(
a
2
,0)
,B(0,-a2).
∴△OAB的面积S=
1
2
×a2×
a
2
=
a3
4

又已知切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,
a3
4
=2
(a>0),解得a=2.
故答案为2.
举一反三
已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在x=1处取得极小值,其图象过点A(0,1),且在点处切线的斜率为-1.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)的定义域D,若存在区间[m,n]⊆D,使得g(x)在[m,n]上的值域也是[m,n],则称区间[m,n]为函数g(x)的“保值区间”.
(ⅰ)证明:当x>1时,函数f(x)不存在“保值区间”;
(ⅱ)函数f(x)是否存在“保值区间”?若存在,写出一个“保值区间”(不必证明);若不存在,说明理由.
题型:福建模拟难度:| 查看答案
曲线y=xlnx在点(1,f(1))处的切线方程为______.
题型:蚌埠模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
x3-(2a+1)x2+3a(a+2)x+1.a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)当函数y=f′(x)在(0,4)上有唯一的零点时,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx,若存在g(x)使得g(x)≤f(x)恒成立,则称g(x)是f(x)的一个“下界函数”.
(I)如果函数g(x)=
t
x
-lnx(t为实数)为f(x)的一个“下界函数”,求t的取值范围;
(II)设函数F(x)=f(x)-
1
ex
+
2
ex
,试问函数F(x)是否存在零点,若存在,求出零点个数;若不存在,请说明理由.
题型:温州一模难度:| 查看答案
已知函数y=xlnx,则该函数在点(1,0)处的切线方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
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