已知f（x）=2x3-5x，g（x）=x3+ax2+bx+c，x∈（0，+∞），设（1，f（1））是曲线y=f（x）与y=g（x）的一个公共点，且在此点处的切线
题型：不详难度：来源：
已知f（x）=2x3-5x，g（x）=x3+ax2+bx+c，x∈（0，+∞），设（1，f（1））是曲线y=f（x）与y=g（x）的一个公共点，且在此点处的切线相同．记g（x）的导函数为g"（x），对任意x∈（0，+∞）恒有g"（x）＞0．
（1）求a，b，c之间的关系（请用b表示a、c）；
（2）求b的取值范围；
（3）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥g（x）． |
答案
（1）f"（x）=6x2-5，f（1）=-3，f"（1）=1，g"（x）=3x2+2ax+b，g（1）=1+a+b+c，g"（1）=3+2a+b．
由条件可得故a=--1，c=-3-．
（2）∵当x∈（0，+∞）时，g"（x）=3x2+2ax+b＞0恒成立，
∴△=4a2-12b＜0，或得b∈(4-2，4+2)．
（3）令F（x）=f（x）-g（x），则F（1）=0，F"（x）=3x2-2ax-b-5=3x2+（b+2）x-b-5=（3x+b+5）（x-1）．
∵x∈(0，+∞)，b∈(4-2，4+2)，
∴3x+b+5＞0．
当x∈（0，1）时，F"（x）＜0，F（x）＞F（1）=0；
当x∈（1，+∞）时，F"（x）＞0，F（x）＞F（1）=0．
综上，当x∈（0，+∞）时，F（x）≥0，即f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x）． |
举一反三
| 已知函数f（x）=在x=1处连续，则=______． |
| 若曲线y=x2在点（a，a2）（a＞0）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于______． |
已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
（ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
（ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由． |
| 曲线y=xlnx在点（1，f（1））处的切线方程为______． |
已知函数f（x）=x3-（2a+1）x2+3a（a+2）x+1．a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围． |
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