已知函数f(x)=(2x+a)•ex(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的极小值;(2)对区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e2成立,
题型:温州一模难度:来源:
已知函数f(x)=(2x+a)•ex(e为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的极小值; (2)对区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e2成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)f′(x)=(2x+a+2)•ex, 当x<--1时,f′(x)<0,当x>--1时,f′(x)>0, ∴函数在(-∞,--1)上为减函数,在(--1,+∞)上为增函数, ∴x=--1时,函数取得极小值,极小值为f(--1)=-2e-1; (2)由(1)知--1≤-1,即a≥0时,f(x)在[-1,1]上为增函数 ∴f(x)max=f(1),f(x)min=f(-1) ∵对区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e2成立, ∴ ∴ ∴0≤a≤e-2 --1≥1,即a≤-4时,f(x)在[-1,1]上为减函数 ∴f(x)max=f(-1),f(x)min=f(1) ∵对区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e2成立, ∴ ∴,无解; -1<--1<1,即-4<a<0时,f(x)在[-1,--1)上为减函数,在[--1,1)上为增函数 ∴f(x)max={f(-1),f(1)},f(x)min=f(--1) ∴ | (a+2)e≤e2 | (a-2)e-1≤e2 | -2e-1≥-2 |
| |
∴-2≤a<0 综上,a的取值范围为-2≤a≤e-2. |
举一反三
已知f(x)=2x3-5x,g(x)=x3+ax2+bx+c,x∈(0,+∞),设(1,f(1))是曲线y=f(x)与y=g(x)的一个公共点,且在此点处的切线相同.记g(x)的导函数为g"(x),对任意x∈(0,+∞)恒有g"(x)>0. (1)求a,b,c之间的关系(请用b表示a、c); (2)求b的取值范围; (3)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)≥g(x). |
已知函数f(x)=在x=1处连续,则=______. |
若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于______. |
已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在x=1处取得极小值,其图象过点A(0,1),且在点处切线的斜率为-1. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)设函数g(x)的定义域D,若存在区间[m,n]⊆D,使得g(x)在[m,n]上的值域也是[m,n],则称区间[m,n]为函数g(x)的“保值区间”. (ⅰ)证明:当x>1时,函数f(x)不存在“保值区间”; (ⅱ)函数f(x)是否存在“保值区间”?若存在,写出一个“保值区间”(不必证明);若不存在,说明理由. |
曲线y=xlnx在点(1,f(1))处的切线方程为______. |
最新试题
热门考点