(Ⅰ)∵f′(x)=(n+1)xn(n∈N*),(1分) ∴点P处的切线斜率kn=(n+1)(-)n,(2分) ∴切线方程为:y-(-)n+1=(n+1)(-)n(x+),(3分) 令x=0得:yn=(-)n+1+•(-)n, 故数列{yn}的通项公式为:yn=•(-)n.(4分) (Ⅱ)Sn=•(-)+•(-)2+•(-)3++•(-)n① 两边同乘-得:-•Sn=•(-)2+•(-)3+•(-)4++•(-)n+1② ∴得:•sn=•(-)+•(-)2+•(-)3++•(-)n-•(-)n+1(6分) ∴3Sn=(-)+(-)2+(-)3++(-)n-n•(-)n+1 =-n•(-)n+1 =--n•(-)n+1 ∴Sn=[•(-)n-1](8分) 其中S1=y1=-,S2=y1+y2=0,S3=-,S4=- 猜测Sn的最大值为S2=0.证明如下:(10分) (i)当n为奇数时,Sn=-[•()n+1]<0;(11分) (ii)当n为偶数时,Sn=•(-1), 设h(n)=,则h(n+2)=. h(n+2)-h(n)=-=-<0, ∴h(n+2)<h(n).(13分) 故h(n)=的最大值为h(2)=1,即Sn的最大值为S2=0.(14分) 解法2(Ⅱ)任意k∈N*,都有y2k-1<0,y2k>0; 所以Sn的最大值就是S2k的最大值. 令ak=y2k-1+y2k=,显然a1=0,k>1,ak<0, 所以S2k=a1+a2++ak的最大值是S2=a1=0. |