设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.

设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.

题型:湖北难度:来源:
设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.
答案
依题意有f(1)=-2,f′(1)=0,而f′(1)=3x2+2ax+b,





1+a+b+c=-2
3+2a+b=0
解得





a=c
b=-2c-3

从而f′(x)=3x2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1).
令f′(x)=0,得x=1或x=-
2c+3
3

由于f(x)在x=1处取得极值,故-
2c+3
3
≠1
,即c≠-3.
-
2c+3
3
>1
,即c<-3,
则当x∈(-∞,-
2c+3
3
)
时,f′(x)>0;
x∈(-
2c+3
3
,1)
时,f′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0;
从而f(x)的单调增区间为(-∞,-
2c+3
3
],[1,+∞)
;单调减区间为[-
2c+3
3
,1]

-
2c+3
3
>1
,即c<-3,
同上可得,f(x)的单调增区间为(-∞,1],[-
2c+3
3
,+∞)
;单调减区间为[1,-
2c+3
3
]
举一反三
曲线y=xlnx在点M(e,e)处切线在x,y轴上的截距分别为a,b,则a-b=(  )
A.-
3
2
e
B.-
1
2
e
C.
1
2
e
D.
3
2
e
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函数f(x)=x3-3x2+1在x=______处取得极小值.
题型:广东难度:| 查看答案
过曲线C:f(x)=x3-ax+b外的点A(1,0)作曲线C的切线恰有两条,
(1)求a,b满足的等量关系;
(2)若存在x0∈R+,使f(x0)>x0ex0+a成立,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
lnx
x

(1)求f(x)在点(1,0)处的切线方程;
(2)求函数f(x)在[1,t]上的最大值.
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抛物线y=x2的一条切线方程为6x-y-b=0,则切点坐标为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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