设函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间．

题型：湖北难度：来源：

设函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间．

答案

依题意有f（1）=-2，f′（1）=0，而f′（1）=3x²+2ax+b，
故

1+a+b+c=-2 3+2a+b=0

解得

a=c b=-2c-3

从而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=（3x+2c+3）（x-1）．
令f′（x）=0，得x=1或x=-

2c+3

3

．
由于f（x）在x=1处取得极值，故-

2c+3

3

≠1，即c≠-3．
若-

2c+3

3

＞1，即c＜-3，
则当x∈(-∞，-

2c+3

3

)时，f′（x）＞0；
当x∈(-

2c+3

3

，1)时，f′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
从而f（x）的单调增区间为(-∞，-

2c+3

3

]，[1，+∞)；单调减区间为[-

2c+3

3

，1]
若-

2c+3

3

＞1，即c＜-3，
同上可得，f（x）的单调增区间为(-∞，1]，[-

2c+3

3

，+∞)；单调减区间为[1，-

2c+3

3

]