已知过原点O作函数f(x)=ex(x2-x+a)的切线恰好有三条,切点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),且x1<x2<x3.(Ⅰ)求实数a的
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已知过原点O作函数f(x)=ex(x2-x+a)的切线恰好有三条,切点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),且x1<x2<x3. (Ⅰ)求实数a的取值范围. (Ⅱ)求证:x1<-3. |
答案
(Ⅰ)f′(x)=ex(x2+x+a-1), 设切点为(x0,y0),则切线方程为:y-ex0(x02-x0+a)=ex0(x02+x0+a-1)(x-x0), 代入(0,0)得x03+ax0-a=0, 由题意知满足条件的切线恰有三条, 则方程x3+ax-a=0有三个不同的解.(2分) 令g(x)=x3+ax-a,g′(x)=3x2+a. 当a≥0时,g′(x)≥0,g(x)是(-∞,+∞)上增函数,则方程x3+ax-a=0有唯一解.(3分) 当a<0时,由g′(x)=0得x=±,g(x)在(-∞,-)和(,+∞)上是增函数, 在(-)上是减函数 要使方程x3+ax-a=0有三个不同的根, 只需(5分) 解得a<-.(6分) (Ⅱ)∵g(x)=x3+ax-a,x→∞g(x)→∞g(-)>0, 由函数连续性知-∞<x1<-,(8分) ∵a<-,∴g(-3)=-27-4a>0,(10分) 且-3<-,∴x1<-3.(12分) |
举一反三
已知函数f ( x )=,m∈R. (Ⅰ)求f(x)的极值; (Ⅱ)若lnx-ax<0在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax+b在x=2处取得极值9,则a+2b=______. |
对于函数f(x)=(2x-x2)ex (1)(-,)是f(x)的单调递减区间; (2)f(-)是f(x)的极小值,f()是f(x)的极大值; (3)f(x)有最大值,没有最小值; (4)f(x)没有最大值,也没有最小值. 其中判断正确的是______. |
设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f"(x)满足f"(1)=2a,f"(2)=-b,其中常数a,b∈R. (I)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (II)设g(x)=f′(x)e-x.求函数g(x)的极值. |
已知函数f(x)=x3-3x.过点P(2,-6)作曲线y=f(x)的切线,求此切线的方程. |
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