已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+bx+c的图象相切.(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)g
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已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+bx+c的图象相切.(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)g
题型:不详
难度:
来源:
已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x
2
+bx+c的图象相切.
(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)g(x),
(ⅰ)当c=4时,在函数F(x)的图象上是否存在点M(x
0
,y
0
),使得F(x)在点M的切线斜率为
b
3
,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(ⅱ)若函数F(x)在(-∞,+∞)内有极值点,求c的取值范围.
答案
(Ⅰ)依题意,令
f′(x)=g′(x),得2x+b=1,故x=
1-b
2
.
由于f(
1-b
2
)=g(
1-b
2
),得(b+1
)
2
=4c
.
∵b>-1,c>0,
∴
b=-1+2
c
.
(Ⅱ)由题意可得:F(x)=f(x)g(x)=x
3
+2bx
2
+(b
2
+c)x+bc,所以F′(x)=3x
2
+4bx+b
2
+c.
(ⅰ)当c=4时,则b=3,
所以F(x)=f(x)g(x)=x
3
+6x
2
+13x+12,所以F′(x)=3x
2
+12x+13,
若存在满足条件的点M,则有:F′(x)=3x
2
+12x+13=1,
解得:x=-2,y=2,
所以这样的点M存在,且坐标为(-2,2).
(ⅱ)由题意可得:F(x)=f(x)g(x)=x
3
+2bx
2
+(b
2
+c)x+bc,所以F′(x)=3x
2
+4bx+b
2
+c.
令F′(x)=0,即3x
2
+4bx+b
2
+c=0;所以△=16b
2
-12(b
2
+c)=4(b
2
-3c),
若△=0,则F′(x)=0有两个相等的实根,设为x
0
,此时F′(x)的变化如下:
x
(-∞,x
0
)
x
0
(x
0
,+∞)
F′(x)
+
0
+
解析
x
(-∞,x
1
)
x
1
(x
1
,x
2
)
x
2
(x
2
,+∞)
F′(x)
+
0
-
0
+
举一反三
已知函数f(x)=ax
3
-bx
2
+9x+2,若f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-6.
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若对任意的x∈[
1
4
,2]都有f(x)≥t
2
-2t-1成立,求函数g(x)≥t
2
+t-2的最值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数y=f(x)在点f(x)处可导,则
lim
h→0
f(
x
0
+3h)-f(
x
0
-2h)
h
=( )
A.f"(x
0
)
B.3f"(x
0
)
C.
3
2
f′(
x
0
)
D.5f"(x
0
)
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+ax
2
-x+2,(a∈R)
(1)若f(x)在(0,1)上是减函数,求a的最大值;
(2)若f(x)的单调递减区间是
(-
1
3
,1)
,求函数y=f(x)图象过点(1,1)的切线与两坐标轴围成图形的面积.
题型:宣武区一模
难度:
|
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已知函数Y=f(x)及其导函数Y=F′(x)的图象如图所示,则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知x=2是函数f(x)=(x
2
+ax-2a-3)e
x
的一个极值点
(I)求实数a的值;
(II)求函数f(x)在
x∈[
3
2
,3]
的最大值和最小值.
题型:丰南区
难度:
|
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