已知函数f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)).(1)若a=0,b=3,函数f(x)在(t,t+3)上既能取到极大值,又能取

已知函数f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)).(1)若a=0,b=3,函数f(x)在(t,t+3)上既能取到极大值,又能取

题型:蓝山县模拟难度:来源:
已知函数f(x)=x(x-a)(x-b),点A(s,f(s)),B(t,f(t)).
(1)若a=0,b=3,函数f(x)在(t,t+3)上既能取到极大值,又能取到极小值,求t的取值范围;
(2)当a=0时,
f(x)
x
+lnx+1≥0
对任意的x∈[
1
2
,+∞)
恒成立,求b的取值范围;
(3)若0<a<b,函数f(x)在x=s和x=t处取得极值,且a+b<2


3
,O是坐标原点,证明:直线OA与直线OB不可能垂直.
答案
(1)当a=0,b=3时,f(x)=x3-3x2,f"(x)=3x2-6x,令f"(x)=0得x=0,2,根据导数的符号可以得出函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.函数f(x)在(t,t+3)上既能取到极大值,又能取到极小值,则只要t<0且t+3>2即可,即只要-1<t<0即可.所以t的取值范围是(-1,0).(4分)
(2)当a=0时,
f(x)
x
+lnx+1≥0
对任意的x∈[
1
2
,+∞)
恒成立,即x2-bx+lnx+1≥0对任意的x∈[
1
2
,+∞)
恒成立,也即b≤x+
lnx
x
+
1
x
在对任意的x∈[
1
2
,+∞)
恒成立.令g(x)=x+
lnx
x
+
1
x

g′(x)=1+
1-lnx
x2
-
1
x2
=
x2-lnx
x2

记m(x)=x2-lnx,则m′(x)=2x-
1
x
=
2x2-1
x
,则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x=


2
2
,故也是最小值点,所以m(x)≥m(


2
2
)=
1
2
-ln


2
2
>0
,从而g"(x)>0,所以函数g(x)在[
1
2
,+∞)
单调递增.函数g(x)min=g(
1
2
)=
5
2
-2ln2
.故只要b≤
5
2
-2ln2
即可.所以b的取值范围是(-∞,
5
2
-2ln2]
.(8分)
(3)假设


OA


OB
,即


OA


OB
=0
,即(s,f(s))•(t,f(t))=st+f(s)f(t)=0,故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,即[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1.
由于s,t是方程f"(x)=0的两个根,故s+t=
2
3
(a+b),st=
ab
3
,0<a<b

代入上式得ab(a-b)2=9.(a+b)2=(a-b)2+4ab=
9
ab
+4ab≥2


36
=12
,即a+b≥2


3
,与a+b<2


3
矛盾,所以直线OA与直线OB不可能垂直.
举一反三
已知函数y=f(x)在点(2,f(2))处的切线为由y=2x-1,则函数g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为______.
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已知函数 f(x)的导数.f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,a,b为实数,1<a<2.
(1) 若f(x)在区间_[-1,1]_上的最小值、最大值分别为-2、1,求a,b的值;
(2) 在(1)的条件下,求曲线在点P(2,1)处的切线方程.
题型:不详难度:| 查看答案
曲线y=-
1
x
在点(
1
2
,-2)
处的切线斜率为______,切线方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线y=
1
3
x3+
4
3
,则曲线在x=2处的切线方程是______.
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曲线y=x3在点(a,a3)(a>0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为
1
6
,则a
=______.
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