已知过点(0,1)的直线l与曲线C:y=x+1x(x>0)交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.

已知过点(0,1)的直线l与曲线C:y=x+1x(x>0)交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.

题型:不详难度:来源:
已知过点(0,1)的直线l与曲线C:y=x+
1
x
(x>0)
交于两个不同点M和N.求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹.
答案
设点M、N的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2
其交点P的坐标为(xp,yp).若直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.
由方程组





y=x+
1
x
y=kx+1
,消去y,得x+
1
x
=kx+1
,即(k-1)x2+x-1=0.
由题意知,该方程在(0,+∞)上有两个相异的实根x1、x2,故k≠1,且△=1+4(k-1)>0…(1),x1+x2=
1
1-k
>0
…(2),x1x2=
1
1-k
>0
…(3),
由此解得
3
4
<k<1
.对y=x+
1
x
求导,得y′=1-
1
x2

y′|x=x1=1-
1
x21
y′|x=x2=1-
1
x22
,于是直线l1的方程为y-y1=(1-
1
x21
)(x-x1)

y-(x1+
1
x1
)=(1-
1
x21
)(x-x1)
,化简后得到直线l1的方程为y=(1-
1
x21
)x+
2
x1
…(4).
同理可求得直线l2的方程为y=(1-
1
x22
)x+
2
x2
…(5).
(4)-(5)得(
1
x22
-
1
x21
)xp+
2
x1
-
2
x2
=0

因为x1≠x2,故有xp=
2x1x2
x1+x2
…(6).将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2.
(4)+(5)得2yp=(2-(
1
x21
+
1
x22
))xp+2(
1
x1
+
1
x2
)
…(7),
其中
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
=1
1
x21
+
1
x22
=
x21
+
x22
x21
x22
=
(x1+x2)2-2x1x2
x21
x22
=(
x1+x2
x1x2
)2-
2
x1x2
=1-2(1-k)=2k-1

代入(7)式得2yp=(3-2k)xp+2,而xp=2,得yp=4-2k.
又由
3
4
<k<1
2<yp
5
2
,即点P的轨迹为(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点).
举一反三
曲线y=e
1
2
x
在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(  )
A.
9
2
e2
B.4e2C.2e2D.e2
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设f(x)=x+
a
x
,g(x)=x3-x2-3
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若x∈[0,2],求函数g(x)的最大值和最小值;
(3)如果在[
1
2
,2]上任取s,t,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
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函数f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R)

(1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值.
(2)若y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值.
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若曲线y=x3+x-2上点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0的坐标为(  )
A.(0,-2)或(1,0)B.(-l,-4)或(1,0)
C.(0,-2)或(-1,-4)D.(2,8)或(1,0)
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已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在(2,-1)处的切线的斜率为1,求a,b,c的值.
题型:不详难度:| 查看答案
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