如图为函数f(x)=x(0<x<1)的图象,其在点M(t,f(t))处的切线为l,l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的
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如图为函数f(x)=x(0<x<1)的图象,其在点M(t,f(t))处的切线为l,l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的
题型:不详
难度:
来源:
如图为函数
f(x)=
x
(0<x<1)的图象,其在点
M(t,f(t))处的切线为l,l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个,则b的取值范围为
( )
A.
[
1
4
,
10
27
)
B.
(
1
2
,
10
27
]
C.
(
1
2
,
10
27
]
D.
(
1
4
,
8
27
)
答案
对函数求导可得,f′(x)=
1
2
x
,由题意可得M(t,
t
),
切线的斜率k=f′(t)=
1
2
t
过点M的切线方程为y-
t
=
1
2
t
(x-t)
则可得P(0,
t
2
),N(0,1),Q(2
t
-t,1),
s
△PNQ
=
1
2
PN•NQ=
1
2
(2
t
-t)(1-
t
2
)=
t
-t+
t
t
4
,
令g(t)=
t
-t+
t
t
4
(0<t<1)
g′(t)=
3
8
t
+
1
2
t
-1=
3t-8
t
+4
8
t
=
(3
t
-2)(
t
-2)
8
t
,
函数g(t)在(0,
4
9
)单调递增,在[
4
9
,1)单调递减,
由于g(1)=
1
4
,g(
4
9
)=
8
27
,
△PNQ的面积为b时的点M恰好有两个,
即g(t)在(0,1)上与y=b有两个交点,
根据函数的图象可得,
1
4
<b<
8
27
,
故选D;
举一反三
已知a>0,函数
f(x)=|
x-a
x+2a
|
.
(I)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
(II)是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:湖南
难度:
|
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已知函数f(x)=x-1+
a
e
x
(a∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.
题型:福建
难度:
|
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曲线y=x
3
-3x
2
+1在P(0,1)处的切线方程是( )
A.y=x+1
B.y=1
C.x=0
D.不存在
题型:不详
难度:
|
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若过点(0,-1)作抛物线y=ax
2
(a>0)的两条切线互相垂直,则a为( )
A.1
B.2
C.
1
2
D.
1
4
题型:不详
难度:
|
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已知曲线y=x
4
+ax
2
+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,a=( )
A.9
B.6
C.-9
D.-6
题型:不详
难度:
|
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