已知函数f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).(Ⅰ)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若在区间[-2,-1]上,f(x
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已知函数f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).(Ⅰ)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若在区间[-2,-1]上,f(x
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=e
x
(ax
2
+a+1)(a∈R).
(Ⅰ)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若在区间[-2,-1]上,
f(x)≥
2
e
2
恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)当a=-1时,f(x)=-e
x
x
2
,f(1)=-e.
f
′
(x)=-(x
2
+2x)e
x
,则k=f
′
(1)=-3e.
∴切线方程为:y+e=-3e(x-1),即y=-3ex+2e.
(Ⅱ)由
f(-2)=
e
-2
(4a+a+1)≥
2
e
2
,得:a
≥
1
5
.
f
′
(x)=e
x
(ax
2
+2ax+a+1)=e
x
[a(x+1)
2
+1].
∵a
≥
1
5
,∴f
′
(x)>0恒成立,故f(x)在[-2,-1]上单调递增,
要使
f(x)≥
2
e
2
恒成立,则
f(-2)=
e
-2
(4a+a+1)≥
2
e
2
,解得a
≥
1
5
.
举一反三
设函数f(x)=alnx-bx
2
(x>0);
(1)若函数f(x)在x=1处与直线
y=-
1
2
相切
①求实数a,b的值;
②求函数
f(x)在[
1
e
,e]
上的最大值.
(2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+x对所有的
a∈[0,
3
2
],x∈(1,
e
2
]
都成立,求实数m的取值范围.
题型:河南模拟
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线L与直线x-y+3=0平行,若数列{
1
f(n)
}的前n项和为S
n
,则S
2013
的值为( )
A.
2010
2011
B.
2011
2012
C.
2012
2013
D.
2013
2014
题型:不详
难度:
|
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已知a∈R,函数f(x)=x
3
-3x
2
+3ax-3a+3.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.
题型:浙江
难度:
|
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曲线y=2x-x
3
在横坐标为-1的点处的切线为l,则点P(3,2)到直线l的距离为( )
A.
7
2
2
B.
9
2
2
C.
11
2
2
D.
9
10
10
题型:东莞二模
难度:
|
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如图为函数
f(x)=
x
(0<x<1)的图象,其在点
M(t,f(t))处的切线为l,l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个,则b的取值范围为
( )
A.
[
1
4
,
10
27
)
B.
(
1
2
,
10
27
]
C.
(
1
2
,
10
27
]
D.
(
1
4
,
8
27
)
题型:不详
难度:
|
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