已知函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1．（1）求a，b，c的值；（2）若对任意的x1，x2∈[-1，1]

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤s成立，求s的最小值．

答案

（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义R上的奇函数
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
依题意有f′（-1）=0且f（-1）=1
即

3a+c=0 -a-c=1

，解得，a=

1

2

，c=-

3

2

∴f（x）=

1

2

x³+-

3

2

x
（2）f(x)=

1

2

x3-

3

2

x，f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x-1)(x+1)，
x∈（-1，1）时f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上是减函数，
即f（1）≤f（x）≤f（-1），
则|f（x）|≤1，⇒f_max（x）=1，f_min（x）=-1，
当x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max|+|f（x）_min|≤1+1=2
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤s中s的最小值为2，
∴s的最小值2．