已知P：对任意a∈[1，2]，不等式恒成立；Q：函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1存在极大值和极小值．求使“P且Q”为真命题的m的取值范围．

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已知P：对任意a∈[1，2]，不等式恒成立；
Q：函数f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1存在极大值和极小值．
求使“P且Q”为真命题的m的取值范围．

答案

解：若P真，则m²﹣10m+25≤a²+8，∴m²﹣10m+17≤a²，
∵a∈[1，2]，∴m∈[2，8]；
若Q真，则f′（x）=3x²+2mx+m+6=0两个不相等的实数根，
∴△=4m²﹣12（m+6）＞0
即m＞6或m＜﹣3．
∴ Q：﹣3≤m≤6
∴当P真且Q为真时，m∈[2，6]