已知函数f(x)=x3﹣3ax﹣1,a≠0 (1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在x=﹣1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求
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已知函数f(x)=x3﹣3ax﹣1,a≠0 (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=﹣1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围. |
答案
解析:(1)f′(x)=3x2﹣3a=3(x2﹣a), 当a<0时,对x∈R,有f′(x)>0, 当a<0时,f(x)的单调增区间为(﹣∞,+∞) 当a>0时,由f′(x)>0解得 或 ; 由f′(x)<0解得 , 当a>0时,f(x)的单调增区间为 ; f(x)的单调减区间为 . (2)因为f(x)在x=﹣1处取得极大值, 所以f′(﹣1)=3×(﹣1)2﹣3a=0,∴a=1. 所以f(x)=x3﹣3x﹣1,f′(x)=3x2﹣3, 由f′(x)=0解得x1=﹣1,x2=1. 由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=﹣1处取得极大值f(﹣1)=1, 在x=1处取得极小值f(1)=﹣3. 因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 又f(﹣3)=﹣19<﹣3,f(3)=17>1, 结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(﹣3,1). |
举一反三
已知函数有三个极值点. (1)求c的取值范围; (2)若存在c=5,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减,求a的取值范围. |
已知f(x)=2ax﹣+lnx在x=﹣1,x=处取得极值. (1)求a、b的值; (2)若对x∈[,4]时,f(x)>c恒成立,求c的取值范围. |
已知函数f(x)=(ax﹣1)ex,a∈R (1)当a=1时,求函数f(x)的极值. (2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x﹣a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是( ) |
设函数f(x)=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}。 (1)求数列{xn}。 (2)设{xn}的前n项和为Sn,求sinSn。 |
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