已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点.(1)求b和c (2)求函
题型:山东省期末题难度:来源:
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点. (1)求b和c (2)求函数y=f(x)的解析式; (3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程 |
答案
解:(1)由题意可得: 函数f(x)=x3+bx2+cx+d的导数为:f ’(x)=3x2+2bx+c 因为函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2 所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1,x2=2 所以2b+c+3=0,并且4b+c+12=0,解得:b=﹣,c=6. (2)设切点为(x0,y0),由(1)可得:f ’(x)=3x2﹣9x+6,因为直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点,所以f ’(x0)=6,即x0=3或者x0=0,当x0=3时,y0=19,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3x2+6x+.当x0=0时,y0=1,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3x2+6x+1. (3)由题意可得:f(x)=x3x2+6x+1,并且P(0,1), 设切点的坐标为(x1,y1), 所以==…①. 又因为f ’(x)=3x2﹣9x+6,所以K切=3x12﹣9x1+6…②,由①②可得:, 所以切点为(,), 所以, 所以切线方程为15x﹣16y+16=0. 所以过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程为 15x﹣16y+16=0. |
举一反三
已知函数 (1)求f(x)的单调区间以及极值; (2)函数y=f(x)的图象是否为中心对称图形?如果是,请给出严格证明;如果不是,请说明理由. |
函数f(x)=x3+ax2+3x﹣9,已知f(x)在x=﹣3时取得极值,则a= |
[ ] |
A.2 B.3 C.4 D.5 |
已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1和x=3处有极值. (1)求a,b的值; (2)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程. |
设函数f(x)=x3﹣6x+5,x∈R (Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a的取值范围. |
函数f(x)=x3﹣ax2﹣bx+a2,在x=1时有极值10,则a、b的值为 |
[ ] |
A.a=3,b=﹣3或a=﹣4,b=11 B.a=﹣4,b=1或a=﹣4,b=11 C.a=﹣1,b=5 D.以上都不对 |
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