设函数f(x)=x3﹣mx2+(m2﹣4)x,x∈R.(1)当m=3时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)已知关于x的方程f(x)=0有

设函数f(x)=x3﹣mx2+(m2﹣4)x,x∈R.(1)当m=3时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)已知关于x的方程f(x)=0有

题型:四川省月考题难度:来源:
设函数f(x)=x3﹣mx2+(m2﹣4)x,x∈R.
(1)当m=3时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)已知关于x的方程f(x)=0有三个互不相等的实根0,α,β(α<β),求实数 m 的取值范围;
(3)在(2)条件下,若对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥﹣恒成立,求实数m的取值范围.
答案
解:(1)∵函数f(x)=
∴f"(x)=x2﹣2mx+m2﹣4
当m=3时,f "(2)=﹣3,f(2)=
所以所求的直线方程为9x+3y﹣20=0.
(2)∵函数f(x)==x[]
若关于x的方程f(x)=0有三个互不相等的实根0,α,β
则△=m2>0,
解得:﹣4<0<4
故满足条件的实数m的取值范围为(﹣4,4)
(3)∵f"(x)=x2﹣2mx+m2﹣4=[x﹣(m﹣2)][x﹣(m+2)],
f(x)在(﹣∞,m﹣2)上递增,在(m﹣2,m+2)递减,在(m+2,+∞)递增,
f(x)极大值=f(m﹣2)=(m﹣2)3﹣m(m﹣2)2+(m2﹣4)(m﹣2)>0,
f(x)极小值=f(m+2)=(m+2)3﹣m(m+2)2+(m2﹣4)(m+2)<0,
得﹣4<m<4且m2﹣4≠0,得﹣4<m<4,m≠±2.
若m+2<0,即m∈(﹣4,﹣2),
当x∈[α,β]时,f(x)min=0,
∴当m∈(﹣4,﹣2)时,f(x)≥﹣恒成立.
若m﹣2<0<m+2,即m∈(﹣2,2)
要使当x∈[α,β]时,f(x)≥﹣恒成立,即f(x)min=f(m+2)≥﹣
f(m+2)=(m+2)3﹣m(m+2)2+(m2﹣4)(m+2)≥﹣,得m(m2﹣12)≥0
∵m∈(﹣2,2)
∴m2﹣12<0,
∴m≤0,
∴当﹣2<m≤0时,f(x)≥﹣恒成立.
若0<m﹣2,即m∈(2,4),要使当x∈[α,β]时,f(x)≥﹣恒成立,
即f(x)min=f(m+2)≥﹣
f(m+2)=(m+2)3﹣m(m+2)2+(m2﹣4)(m+2)≥﹣
得m(m2﹣12)≥0
∵m∈(2,4)
∴2≤m<4
综上得:m的取值范围是(﹣4,﹣2)
举一反三

已知函数f(x)=x3+3bx2+cx+d在(﹣∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且f(x)=0的一个根为﹣b
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求证:f(x)=0还有不同于﹣b的实根x1、x2,且x1、-b、x2成等差数列;
(Ⅲ)若函数f(x)的极大值小于16,求f(1)的取值范围.

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如图是导函数y=f′(x)的图象,在标记的点中,函数有极小值的是

[     ]
A.x=x2
B.x=x3
C.x=x5
D.x=x1或x=x4
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函数f(x)=ax3﹣3x2+x﹣1有极值的充要条件是[     ]
A.a>3
B.a≥3
C.a<3
D.a≤3
题型:广西自治区月考题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3﹣3ax2+3x+1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求实数a的取值范围.
题型:广西自治区月考题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3﹣3ax+b在x=1处有极小值2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数在[0,2]只有一个零点,求m的取值范围.
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