设a∈R,函数f(x)=(x2-ax-a)ex.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f(x)在[-2,2]上的最小值
题型:不详难度:来源:
设a∈R,函数f(x)=(x2-ax-a)ex. (Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)在[-2,2]上的最小值. |
答案
(Ⅰ)f"(x)=(2x-a)ex+(x2-ax-a)ex=(x+2)(x-a)ex. 当a=1时,f"(0)=-2,f(0)=-1, 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-(-1)=-2x, 即2x+y+1=0. (Ⅱ)令f"(x)=0,解得x=-2或x=a. ①a≥2,则当x∈(-2,2)时,f"(x)<0,函数f(x)在(-2,2)上单调递减, 所以,当x=2时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(2)=(4-3a)e2. ②-2<a<2,则当x∈(-2,2)时, 当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019063548-32330.png) 所以,当x=a时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(a)=-a•ea. ③a≤-2,则当x∈(-2,2)时,f"(x)>0,函数f(x)在(-2,2)上单调递增, 所以,当x=-2时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(-2)=(4+a)e-2. 综上,当a≤-2时,f(x)的最小值为(4+a)e-2;当-2<a<2时,f(x)的最小值为-a•ea; 当a≥2时,f(x)的最小值为(4-3a)e2. |
举一反三
已知函数f(x)=x3-6x2-1. (1)求函数f(x)的单调区间与极值; (2)设g(x)=f(x)-c,且∀x∈[-1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范围. |
f(x)=x3-x2-2x+5,若对任意x∈[0,2]都有f(x)<m成立,则m的取值范围为( )A.(7,+∞) | B.(8,+∞) | C.[7,+∞) | D.(9,+∞) |
|
已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c=16. (1)求a、b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最大值. |
已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围; (3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t).记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值. |
已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是的f(x)的导函数. (Ⅰ)对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围; (Ⅱ)设a=-m2,当实数m在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点. |
最新试题
热门考点