设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=x-2;(1)求证:函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增;(2)设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(

设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=x-2;(1)求证:函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增;(2)设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=x-2;
(1)求证:函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增;
(2)设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1≥0,x2>0),若直线PQx轴,求P,Q两点间的最短距离.
答案
(1)证明:x≥0时,f"(x)=ex+cosx≥1+cosx≥0,
所以函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增;---------------------------(6分)
(2)因为f(x1)=g(x2),所以ex1+sinx1=x2-2---------------------(8分)
所以P,Q两点间的距离等于|x2-x1|=|ex1+sinx1-x1+2|,------(9分)
设h(x)=ex+sinx-x+2(x≥0),则h"(x)=ex+cosx-1(x≥0),
记l(x)=h"(x)=ex+cosx-1(x≥0),则l"(x)=ex-sinx≥1-sinx≥0,
所以h"(x)≥h"(0)=1>0,------------------------------------(12分)
所以h(x)在[0,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(0)=3------------(14分)
所以|x2-x1|≥3,即P,Q两点间的最短距离等于3.---------------(15分)
举一反三
已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若a=2,求f(x)在闭区间[0,4]上的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=2x+
2
x
+alnx,a∈R

(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)记函数g(x)=x2[f′(x)+2x-2],若g(x)的最小值是-6,求函数f(x)的解析式.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+
1
2
x2,a∈R
(Ⅰ)当0<a<1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)当x∈[
1
e
,+∞)时f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=
a
x
+lnx
,其中a为实常数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=0,设g(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,h(n)=
1
23
+
2
32
+
3
43
+…+
n-1
n3
(n≥2,n∈N+).是否存在实常数b,既使g(n)-f(n)>b又使h(n)-f(n+1)<b对一切n≥2,n∈N+恒成立?若存在,试找出b的一个值,并证明;若不存在,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.