某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本

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某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为y=3240(-x2+2x+

)，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

答案

（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x²+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x²+1500x+15000＞15000得0＜x＜

（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3-0.9x）×3240×（-x²+2x+

）=3240×（0.9x³-4.8x²+4.5x+5）
则f′（x）=3240×（2.7x²-9.6x+4.5）=972（9x-5）（x-3），
由f′(x)=0，解得x=

或x=3，
当x∈(0，

)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(

，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
∴当x=

时，f(x)取极大值f(

)=20000万元，
因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当x=

时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．

举一反三

已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，试求a，b的值，
（1）并求出f（x）的单调区间
（2）在区间[-2，2]上的最大值与最小值
（3）若关于x的方程f（x）=α有3个不同实根，求实数a的取值范围．

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已知函数f（x）=x²-ax+2lnx（其中a是实数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若2(

)＜a＜5，且f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求|f（x₁）-f（x₂）|的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

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已知函数f（x）=x-1-lnx
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围．

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函数f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c为常数）的图象过原点，且对任意x∈R总有f(x)≤f(

)成立；
（1）若f（x）的最大值等于1，求f（x）的解析式；
（2）试比较f(

)与f(

)的大小关系．

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设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=x-2；
（1）求证：函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，g（x₂））（x₁≥0，x₂＞0），若直线PQ∥x轴，求P，Q两点间的最短距离．

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