函数f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c为常数）的图象过原点，且对任意x∈R总有f(x)≤f(π3)成立；（1）若f（x）的最大值等于1，求f（x）

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函数f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c为常数）的图象过原点，且对任意x∈R总有f(x)≤f(π3)成立；（1）若f（x）的最大值等于1，求f（x）

题型：不详难度：来源：
函数f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c为常数）的图象过原点，且对任意x∈R总有f(x)≤f(
π
3
)成立；
（1）若f（x）的最大值等于1，求f（x）的解析式；
（2）试比较f(
b
a
)与f(
c
a
)的大小关系．
答案
（1）由题意，得





f(0)=b+c=0
f(
π
3
)=


3
2
a+
b
2
+c=1
f′(
π
3
)=
a
2
-


3
2
b=0
，
解得a=


3
，b=1，c=-1，
∴f(x)=


3
sinx+cosx-1．
（2）由（1）可知a=


3
b、c=-b，
∴
b
a
=


3
3
，
c
a
=-


3
3
，
∴f(
b
a
)-f(
c
a
)=2asin


3
3
，
∴f(
b
a
)-f(
c
a
)＞0，即f(
b
a
)＞f(
c
a
)．
举一反三
设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=x-2；
（1）求证：函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）设P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））（x1≥0，x2＞0），若直线PQ∥x轴，求P，Q两点间的最短距离．
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已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若a=2，求f（x）在闭区间[0，4]上的最小值．
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已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值．
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已知函数f(x)=2x+
2
x
+alnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
（2）记函数g（x）=x2[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函数f（x）的解析式．
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已知函数f（x）=alnx-（1+a）x+
1
2
x2，a∈R
（Ⅰ）当0＜a＜1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）当x∈[
1
e
，+∞）时f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
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