已知直线l:y=kx+1与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于A,B两点.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程;(2)若O为坐标原点,S(k)表示△OAB的面
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已知直线l:y=kx+1与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于A,B两点.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程;(2)若O为坐标原点,S(k)表示△OAB的面
题型:不详
难度:
来源:
已知直线l:y=kx+1与圆C:(x-2)
2
+(y-3)
2
=1相交于A,B两点.
(1)求弦AB的中点M的轨迹方程;
(2)若O为坐标原点,S(k)表示△OAB的面积,
f(k)=[S(k)
]
2
+
3
k
2
+1
,求f(k)的最大值.
答案
(1)直线l与y轴的交点为N(0,1),圆心C(2,3),设M(x,y),
∵MN与MC所在直线垂直,∴
y-1
x
•
y-3
x-2
=-1
,(x≠0且x≠2),
当x=0时不符合题意,当x=2时,y=3符合题意,
∴AB中点的轨迹方程为:x
2
+y
2
-2x-4y+3=0,
7-
7
4
<x<
7+
7
4
.(6分)
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
∵S
△OAB
=S
△ONB
-S
△ONA
,且|ON|=1,∴
S
△OAB
=
1
2
•|ON|•|
x
2
-
x
1
|
将y=kx+1代入方程(x-2)
2
+(y-3)
2
=1得(1+k
2
)x
2
-4(1+k)x+7=0,
∵
x
1
+
x
2
=
4(1+k)
1+
k
2
,
x
1
•x
2
=
7
1+
k
2
∴4S
△OAB
2
=|x
2
-x
1
|
2
=(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
•x
2
=
32k-12-12
k
2
(1+
k
2
)
2
,
∴
f(k)=
S
2
(k)+
3
k
2
+1
=
8k
(
k
2
+1)
2
,(10分)
∵由
f′(k)=
-24(k+
3
3
)(k-
3
3
)
(
k
2
+1)
3
=0
,∴
k=±
3
3
,∵△>0得
4-
7
3
<k<
4+
7
3
,
∴
k=
3
3
时,f(k)的最大值为
3
3
2
.(14分)
举一反三
已知函数f(x)=ln(x+1)-x
(1)求f(x)的极值;
(2)若x>-1,求证
1-
1
x+1
≤ln(x+1)≤x
;
(3)若函数
g(x)=
f(x)+1+x
x
(x>0)
,当
g(x)>
k
x+1
恒成立时,求整数k的最大值.
题型:不详
难度:
|
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函数y=2x
3
-3x
2
-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是______.
题型:不详
难度:
|
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某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a元(1≤a≤3)的管理费,预计当每件商品的售价为x元(8≤x≤9)时,一年的销售量为(10-x)
2
万件.
(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);
(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值M(a).
题型:福建
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
2
x
2
+lnx
(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值,最小值;
(2)求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=
2
3
x
3
图象的下方.
题型:不详
难度:
|
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某厂生产产品x件的总成本c(x)=1200+
2
75
x
3
(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:p
2
=
k
x
,生产100件这样的产品单价为50万元.
(1)设产量为x件时,总利润为L(x)(万元),求L(x)的解析式;
(2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大?并求最大值(精确到1万元).
题型:不详
难度:
|
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