(Ⅰ)当a=时,f′(x)=(x>0), ∴当x∈[1,2]时,f′(x)<0;当x∈(2,e]时,f′(x)>0, ∴f(x)在[1,2]上单调递减,在(2,e]上单调递增, ∴f(x)在区间[1,e]上有唯一极小值点, 故f(x)min=f(x)极小值=f(2)=ln2-1. 又∵f(1)=0,f(e)=<0. ∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(x)max=f(1)=0. 综上可知,函数f(x)在[1,e]上的最大值是0,最小值是ln2-1. (Ⅱ)∵g(x)=f(x)-x, ∴g′(x)=(a>0), 设h(x)=-ax2+4ax-4,由题意知,只需h(x)≥0在[1,e]上恒成立, 因为a>0,h(x)图象的对称轴为x=2, 所以只需h(1)=3a-4≥0,所以a≥. |