已知f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*).(Ⅰ)请写出fn(x)的表达式(不需

已知f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*).(Ⅰ)请写出fn(x)的表达式(不需

题型:泉州模拟难度:来源:
已知f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*).
(Ⅰ)请写出fn(x)的表达式(不需证明);
(Ⅱ)设fn(x)的极小值点为Pn(xn,yn),求yn
(Ⅲ)设gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值为a,fn(x)的最小值为b,试求a-b的最小值.
答案
(Ⅰ)fn(x)=(x+n)•ex(n∈N*).…(4分)
(Ⅱ)∵fn(x)=(x+n+1)•ex
∴当x>-(n+1)时,fn(x)>0;当x<-(n+1)时,fn(x)<0
∴当x=-(n+1)时,fn(x)取得极小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)
yn=-e-(n+1)(n∈N*).…(8分)
(Ⅲ) 解法一:∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2,所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2.…(9分)
b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)
∴a-b=(n-3)2+e-(n+1),
令h(x)=(x-3)2+e-(x+1)(x≥0),则h"(x)=2(x-3)-e-(x+1).…(10分)
∵h"(x)在[0,+∞)单调递增,∴h"(x)≥h"(0)=-6-e-1
∵h"(3)=-e-4<0,h"(4)=2-e-5>0,
∴存在x0∈(3,4)使得h"(x0)=0.…(12分)
∵h"(x)在[0,+∞)单调递增,
∴当0≤x<x0时,h"(x0)<0;当x>x0时,h"(x0)>0,
即h(x)在[x0,+∞)单调递增,在[0,x0)单调递减,
∴(h(x))min=h(x0),
又∵h(3)=e-4,h(4)=1+e-5,h(4)>h(3),
∴当n=3时,a-b取得最小值e-4.…(14分)
解法二:∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2,所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2.…(9分)
b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)
∴a-b=(n-3)2+e-(n+1),
cn=(n-3)2+e-(n+1)
cn+1-cn=2n-5+
1
en+2
-
1
en+1
,…(10分)
当n≥3时,cn+1-cn=2n-5+
1
en+2
-
1
en+1
,又因为n≥3,所以2n-5≥1,
1
en+2
>0
0<
1
en+1
<1
,所以2n-5+
1
en+2
-
1
en+1
>0
,所以cn+1>cn.…(12分)
c1=4+
1
e2
c2=1+
1
e3
c3=
1
e4
,c1>c2>c3
∴当n=3时,a-b取得最小值e-4.…(14分)
举一反三
已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,则m的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
当x∈[-1,1]时,函数f(x)=
x2
ex
的值域是______.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=|x3-3x2-t|,x∈[0,4]的最大值记为g(t),当t在实数范围内变化时g(t)最小值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1-x
ax
+lnx.
(I)当a=
1
2
时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(II)若函数g(x)=f(x)-
1
4
x在[1,e]上为增函数,求正实数a的取值范围.
题型:郑州二模难度:| 查看答案
设函数f(x)=
lnx
x
,x∈[1,4],则f(x)的最大值为______,最小值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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