函数f(x)=|x3-3x2-t|,x∈[0,4]的最大值记为g(t),当t在实数范围内变化时g(t)最小值为______.

函数f(x)=|x3-3x2-t|,x∈[0,4]的最大值记为g(t),当t在实数范围内变化时g(t)最小值为______.

题型:不详难度:来源:
函数f(x)=|x3-3x2-t|,x∈[0,4]的最大值记为g(t),当t在实数范围内变化时g(t)最小值为______.
答案
设y=x3-3x2
则y′=3x2-6x,
由y′=3x2-6x=0,
得x1=0,x2=2,
∵x∈[0,4],
y|x=0=0,
y|x=2=-4,
y|x=4=16,
∴y=x3-3x2的值域是[-4,16].
∵函数f(x)=|x3-3x2-t|,x∈[0,4]的最大值记为g(t),
∴当t>6时,g(t)=4+t;
当t=6时,g(t)=10;
当t<6时,g(t)=16-t.
∴g(t)=





4+t,t>6
10,t=6
16-t,t<6

∴g(t)最小值为10.
故答案为:10.
举一反三
已知函数f(x)=
1-x
ax
+lnx.
(I)当a=
1
2
时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(II)若函数g(x)=f(x)-
1
4
x在[1,e]上为增函数,求正实数a的取值范围.
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设函数f(x)=
lnx
x
,x∈[1,4],则f(x)的最大值为______,最小值为______.
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函数f(x)=
1
3
x3-2x2+3x-2在区间[0,2]上最大值为______.
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