横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比,并和矩形横断面的高的平方成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的宽是______.
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横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比,并和矩形横断面的高的平方成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的宽是______.
题型:不详
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来源:
横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比,并和矩形横断面的高的平方成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的宽是______.
答案
如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y.由题意知,当xy
2
取最大值时,横梁的强度最大.
∵y
2
=d
2
-x
2
,
∴xy
2
=x(d
2
-x
2
)(0<x<d).
令f(x)=x(d
2
-x
2
)(0<x<d),
得f′(x)=d
2
-3x
2
,令f′(x)=0,
解得x=
d
3
或x=-
d
3
(舍去).
当0<x<
d
3
时,f′(x)>0;当
d
3
<x<d时,f′(x)<0,
因此,当x=
d
3
时,f(x)取得极大值,也是最大值.
故答案为:
3
3
d.
举一反三
设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥a x成立,则实数a的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若对于任意的
a∈[
1
2
,2]
,不等式f(x)≤10在
[
1
4
,1]
上恒成立,求b的取值范围.
题型:天津
难度:
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若函数
f(x)=
1
3
x
3
-x
在区间(1-a,10-a
2
)上有最小值,则实数a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品,该工艺品由一个圆柱和一个半球组成,要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3:2,工艺品的体积为34πcm
3
.设圆柱的底面直径为4x(cm),工艺品的表面积为S(cm
2
).
(1)试写出S关于x的函数关系式;
(2)怎样设计才能使工艺品的表面积最小?
题型:江苏模拟
难度:
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已知定义在R上的函数f(x)=x
2
(ax-3),其中a为常数.
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围;
(3)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
题型:攀枝花二模
难度:
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