某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11﹣x)2万件.但为了保护环境,用于

某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11﹣x)2万件.但为了保护环境,用于

题型:山东省期末题难度:来源:
某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3元,根据市场调查,预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时,一年的产量为(11﹣x)2万件.但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常数a(1≤a≤3).若该企业所生产的产品全部销售.
(1)求该企业一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式;
(2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润.
答案
解:(1)依题意,利润函数L(x)=一件产品的利润×一年的产量﹣污染治理费用,
代入数据得:
利润函数L(x)=(x﹣3)(11﹣x)2﹣a(11﹣x)2
                                    
=(x﹣3﹣a)(11﹣x)2,x∈[7,10].
(2)对利润函数求导,得
L"(x)=(11﹣x)2﹣2(x﹣3﹣a)(11﹣x)
            =(11﹣x)(11﹣x﹣2x+6+2a)
            =(11﹣x)(17+2a﹣3x);
由L"(x)=0,得x=11(舍去)或x=
因为1≤a≤3,所以
所以,①当≤7,即1≤a≤2时,
L"(x)在[7,10]上恒为负,则L(x)在[7,10]上为减函数,
所以[L(x)]max=L(7)=16(4﹣a)
②当7<,即2<a≤3时,L"(x)在(7,)上为正,L(x)是增函数;
L"(x)在(,10]上为负,L(x)是减函数,
所以[L(x)]max=L()=(8﹣a)3
即当1≤a≤2时,则每件产品出厂价为7元时,年利润最大,为16(4﹣a)万元.
当2<a≤3时,则每件产品出厂价为元时,年利润最大,为(8﹣a)3万元.
举一反三
已知数列{an}满足a1=33,a n+1﹣an=2n,则的最小值为(    ).
题型:山东省月考题难度:| 查看答案
设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直,导函数f"(x)的最小值为﹣12.
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.  
题型:山东省月考题难度:| 查看答案
(1)设函数f(x)=xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x)(0<x<1),求f(x)的最小值;
(2)设正数满足=1,求证:
≥﹣n.
题型:江苏期末题难度:| 查看答案
设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图象分别交于点M、N,则|MN|的最小值为[     ]
A.
B.
C.
D.ln3﹣1
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已知函数f(x)=axlnx图象上点(e,f(e))处的切线方程与直线y=2x平行(其中e=2.71828…),g(x)=x2﹣tx﹣2.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;
(III)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.
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