已知函数f(x)的导数f′(x)=3x2﹣3ax,f(0)=b.a,b为实数,1<a<2.(Ⅰ)若f(x)在区间[﹣1,1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1,求

已知函数f(x)的导数f′(x)=3x2﹣3ax,f(0)=b.a,b为实数,1<a<2.(Ⅰ)若f(x)在区间[﹣1,1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1,求

题型:山东省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)的导数f′(x)=3x2﹣3ax,f(0)=b.a,b为实数,1<a<2.
(Ⅰ)若f(x)在区间[﹣1,1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1,求a、b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(Ⅲ)设函数F(x)=(f′(x)+6x+1)e2x,试判断函数F(x)的极值点个数.
答案
解:(Ⅰ)由已知得,由f"(x)=0,得x1=0,x2=a.
∵x∈[﹣1,1],1<a<2,
∴当x∈[﹣1,0)时,f"(x)>0,f(x)递增;
当x∈(0,1]时,f"(x)<0,f(x)递减.
∴f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值为f(0)=b,
∴b=1.

∴f(﹣1)<f(1),即,得
,b=1为所求.
(Ⅱ)解:由(1)得f(x)=x3﹣2x2+1,f"(x)=3x2﹣4x,点P(2,1)在曲线f(x)上.
(1)当切点为P(2,1)时,切线l的斜率k=f"(x)|x=2=4,
∴l的方程为y﹣1=4(x﹣2),即4x﹣y﹣7=0.
(2)当切点P不是切点时,设切点为Q(x0,y0)(x0≠2),
切线l的斜率
∴l的方程为y﹣y0=(3x02﹣4x0)(x﹣x0).
又点P(2,1)在l上,
∴1﹣y0=(3x02﹣4x0)(2﹣x0),
∴1﹣(x03﹣2x02+1)=(3x02﹣4x0)(2﹣x0),
∴x02(2﹣x0)=(3x02﹣4x0)(2﹣x0),
∴x02=3x02﹣4x0,即2x0(x0﹣2)=0,
∴x0=0.
∴切线l的方程为y=1.
故所求切线l的方程为4x﹣y﹣7=0或y=1.
(或者:由(1)知点A(0,1)为极大值点,所以曲线f(x)的点A处的切线为y=1,恰好经过点P(2,1),符合题意.)
(Ⅲ)解:F(x)=(3x2﹣3ax+6x+1)e2x=[3x2﹣3(a﹣2)x+1]e2x
∴F"(x)=[6x﹣3(a﹣2)]e2x+2[3x2﹣3(a﹣2)x+1]e2x
                =[6x2﹣6(a﹣3)x+8﹣3a]e2x
二次函数y=6x2﹣6(a﹣3)x+8﹣3a的判别式为
△=36(a﹣3)2﹣24(8﹣3a)=12(3a2﹣12a+11)=12[3(a﹣2)2﹣1],
令△≤0,得:
令△>0,得
∵e2x>0,1<a<2,
∴当时,F"(x)≥0,函数F(x)为单调递增,极值点个数为0;
时,此时方程F"(x)=0有两个不相等的实数根,
根据极值点的定义,可知函数F(x)有两个极值点.
举一反三
已知函数f(x)=plnx+(p﹣1)x2+1.
(1)当p=1时,f(x)≤ λx恒成立,求实数λ的取值范围.
(2)当p>0时,讨论函数f(x)的单调性.
题型:山东省期中题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(x2+1)(x+a)(a∈R),当f"(﹣1)=0时,
求函数y=f(x),在上的最大值和最小值.
题型:陕西省月考题难度:| 查看答案
函数f(x)=x3﹣3x(0≤x≤2)的值域为    [     ]
A.[﹣2,2]
B.[0,2]
C.[﹣1,1]
D.[﹣2,0]
题型:四川省月考题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2﹣1.
(1)求函数h(x)=f(x)﹣g(x)的最值;
(2)对于一切正数x,恒有f(x)≤k(x2﹣1)成立,求实数k的取值组成的集合.
题型:四川省月考题难度:| 查看答案
设函数,若f(x)在处取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)存在使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值.
题型:四川省月考题难度:| 查看答案
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