解:(1)h(x)=f(x+1)﹣g"(x)=ln(x+1)﹣x+2,x>﹣1,
所以 h"(x)=﹣1=.
当﹣1<x<0时,h"(x)>0;
当x>0时,h"(x)<0.
因此,h"(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
因此,当x=0时h(x)取得最大值h(0)=2;
(2)证明:当0<b<a时,﹣1<<0,
由(1)知:当﹣1<x<0时,h(x)<2,即ln(x+1)<x.
因此,有f(a+b)﹣f(2a)=ln=ln(1+)<.
(3)不等式k(x﹣1)<xf(x)+3g"(x)+4化为k<+2
所以k<+2对任意x>1恒成立.
令g(x)=+2,则g"(x)=,
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),则 h"(x)=1﹣=>0,
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4).
当1<x<x0时,h(x)<0,即g"(x)<0,
当x>x0时,h(x)>0,即g"(x)>0,
所以函数g(x)=+2在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.
所以[g(x)]min=g(x0)=+2=+2=x0+2∈(5,6).
所以k<[g(x)]min=x0+2∈(5,6).
k的最大值是5.
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