把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x). (Ⅰ)写

把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x). (Ⅰ)写

题型:北京期末题难度:来源:
把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x).
(Ⅰ)写出函数V(x)的解析式,并求出函数的定义域;
(Ⅱ)求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积.
答案
解:(Ⅰ)因为容器的高为x,则做成的正三棱柱形容器的底边长为

函数的定义域为
(Ⅱ)实际问题归结为求函数V(x)在区间上的最大值点.
先求V(x)的极值点.在开区间内,
令V"(x)=0,即令
解得(舍去).
因为在区间内,x1可能是极值点.
当0<x<x1时,V"(x)>0;
时,V"(x)<0.
因此x1是极大值点,且在区间内,x1是唯一的极值点,
所以是V(x)的最大值点,
并且最大值 时,容器的容积最大为
举一反三
已知函数f(x)=x4﹣2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是[     ]

A.m≥
B.m>
C.m≤
D.m<

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已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2﹣2x.
(1)设h(x)=f(x+1)﹣g"(x)(其中g"(x)是g(x)的导函数),求h(x)的最大值;
(2)证明:当0<b<a时,求证:f(a+b)﹣f(2b)<
(3)设k∈Z,当x>1时,不等式k(x﹣1)<xf(x)+3g"(x)+4恒成立,求k的最大值.
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已知函数f(x)=x3﹣ax2﹣x+a,其中a为实数.
(1)若f′(﹣1)=0,求f(x)在[﹣2,3]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在(﹣∞,﹣2]和[3,+∞)上都是递增的,求a的取值范围.
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函数的最大值与最小值的积为(    ).
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设直线x=t 与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为  [     ]
A.1
B.
C.
D.
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