解:(Ⅰ),其定义域为(0,+∞),
,
令,则x=a,
于是,当x>a时,h′(x)>0,h(x)为增函数,
当0<x<a时,h′(x)<0,h(x)为减函数,
所以h(x)的单调增区间是(a,+∞),单调减区间是(0,a);
(Ⅱ)因为,
所以在区间x∈(0,3]上存在一点P(x0,y0),
使得以P(x0,y0)为切点的切线的斜率,
等价于,
因为,
所以在x∈(0,3]的最大值为,
于是a≤,a的最大值为。
(Ⅲ)若的图象与的图象恰好有四个不同的交点,
即有四个不同的根,亦即方程有四个不同的根。
构造函数,
则F(x)的图象与x轴有四个不同的交点,,
令,
当x变化时F′(x)和F(x)的变化情况如下表:
所以当且即时,F(x)的图象与x轴有四个不同的交点,
解得,
所以存在使得两个函数的图像恰好有四个不同的交点。
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