设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形

题型：不详难度：来源：

设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实
根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

答案

（1）f(x)＝x²＋2x＋1（2）

解析

(1)设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2.所以f(x)＝x²＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
即x²＋2x＋c＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.

故f(x)＝x²＋2x＋1.
(2)依题意，所求面积为S＝(x²＋2x＋1)dx＝.