设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=45，b=2．（Ⅰ）当a=53时，求角A的度数；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

题型：西城区一模难度：来源：

设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=

4

5

，b=2．
（Ⅰ）当a=

5

3

时，求角A的度数；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

答案

∵cosB=

4

5

∴sinB=

3

5

 且B为锐角
（I）∵b=2，a=

5

3

由正弦定理可得，

b

sinB

=

a

sinA

∴sinA=

asinB

b

=

5 3 × 3 5

2

=

1

2

∵a＜b∴A＜B
∴A=30°
（II）由cosB=

4

5

，b=2
利用余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB
∴4+

8

5

ac=a2+c2≥2ac
从而有ac≤10
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

10

ac≤3
∴△ABC面积的最大值为3