如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=22,点M在线段PQ上,(Ⅰ)若OM=5,求PM的长;(Ⅱ)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠
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如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=22,点M在线段PQ上,(Ⅰ)若OM=5,求PM的长;(Ⅱ)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠
题型:福建
难度:
来源:
如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2
2
,点M在线段PQ上,
(Ⅰ)若OM=
5
,求PM的长;
(Ⅱ)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.
答案
(Ⅰ)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=
5
,OP=2
2
,
由余弦定理可得,OM
2
=OP
2
+MP
2
-2×OP•MPcos45°,
解得PM的长为1或3;
(Ⅱ)设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理可得:
OM
sin∠OPM
=
OP
sin∠OMP
,
OM=
OPsin45°
sin(45°+α)
,
同理,ON=
OPsin45°
sin(75°+α)
,
故
S
△OMN
=
1
2
OM•ONsin∠MON
=
1
4
×
O
P
2
si
n
2
45°
sin(45°+α)sin(75°+α)
=
1
sin(45°+α)sin(45°+α+30°)
=
1
sin(45°+α)[
3
2
sin(45°+α)+
1
2
cos(45°+α)]
=
1
3
2
si
n
2
(45°+α)+
1
2
sin(45°+α)cos(45°+α)]
=
1
3
4
+
3
4
sin2α+
1
4
cos2α
=
1
3
4
+
1
2
sin(2α+30°)
因为0°≤α≤60°,所以30°≤2α+30°≤150°,
所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,
此时,△OMN的面积最小,面积的最小值
8-4
3
.
举一反三
在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=
3
b,则角A等于( )
A.
π
12
B.
π
4
C.
π
6
D.
π
3
题型:湖南
难度:
|
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在△ABC中,已知c=2,C=60°,
(1)若S
△ABC
=
3
,求a,b;
(2)若sinB=2sinA,求△ABC的面积.
题型:不详
难度:
|
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如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,AB=2.
(1)求cos∠CBE的值;
(2)求AE.
题型:海南
难度:
|
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在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设
m
=(sinA,1),
n
=(-1,1)
,求
m
•
n
的最小值.
题型:日照一模
难度:
|
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如图,等边△ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°,则CD的长为( )
A.
3
2
B.
2
3
C.
1
2
D.
3
4
题型:不详
难度:
|
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