在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且c=2acosB，试判断△ABC的形状．
题型：不详难度：来源：
| 在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且c=2acosB，试判断△ABC的形状． |
答案
∵在△ABC中，（c+b+a）（c+b-a）=3bc，
∴c2+b2-a2=bc，可得cosA==，
结合A为三角形的内角，可得A=60°．
∵c=2acosB
∴由正弦定理，得 sinC=sin（A+B）=2sinAcosB，
展开化简，得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，可得A=B=60°
因此，C=180°-（A+B）=60°
∴△ABC是等边三角形 |
举一反三
| 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若ccosB=bcosC，且cosA=，则sinB=（ ） |
| 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若b-c=2acos(+C)，求角A． |
| 在△ABC中，a，b，c，分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos（B+C）=0，求边BC上的高． |
| 在△ABC中，已知b=，c=1，B=60°，求a，A，C． |
| 在△ABC中，cosA=，C=150°，BC=1，则AB=______． |
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