已知向量m＝与n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角．(1)求角A的大小；(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△

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已知向量m＝与n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角．
(1)求角A的大小；
(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

答案

（1）（2），等边三角形

解析

(1)因为m∥n，
所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0.所以＋sin2A－＝0，
即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1.
因为A∈(0，π)，所以2A－∈.故2A－＝，A＝.
(2)由余弦定理，得4＝b²＋c²－bc.又S_△ABC＝bcsinA＝bc，
而b²＋c²≥2bcbc＋4≥2bcbc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以S_△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝.
当△ABC的面积取最大值时，b＝c.
又A＝，故此时△ABC为等边三角形．