在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.己知csinA=3acosC.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=7,且sinC+sin(B-A)=3sin2A,求△A

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.己知csinA=3acosC.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=7,且sinC+sin(B-A)=3sin2A,求△A

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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.己知csinA=


3
acosC.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c=


7
,且sinC+sin(B-A)=3sin2A,求△ABC的面积.
答案
(Ⅰ)∵csinA=


3
acosC,∴由正弦定理,得sinCsinA=


3
sinAcosC
结合sinA>0,可得sinC=


3
cosC,得tanC=


3

∵C是三角形的内角,∴C=60°;
(Ⅱ)∵sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA,
而3sin2A=6sinAcosA
∴由sinC+sin(B-A)=3sin2A,得sinBcosA=3sinAcosA
当cosA=0时,∠A=
π
2
,可得b=
c
tanC
=


21
3

可得三角△ABC的面积S=
1
2
bc
=
7


3
6

当cosA≠0时,得sinB=3sinA,由正弦定理得b=3a…①,
∵c=


7
,∠C=60°,c2=a2+b2-2abcosC
∴a2+b2-ab=7…②,
联解①①得a=1,b=3,
∴△ABC的面积S=
1
2
absinC=
1
2
×1×3×sin60°=
3


3
4

综上所述,△ABC的面积等于
7


3
6
3


3
4
举一反三
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c(1+cosA)=


3
a•sinC

(1)求角A的大小;
(2)若a=2,△ABC的面积为


3
,求△ABC的周长.
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△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2=b2+c2+bc,则角A等于(  )
A.30°B.45°C.60°D.120°
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在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若∠A=120°,c=3,面积S=
15


3
4
,则a=______.
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已知△ABC的角A,B,C所对的边a,b,c,且acosC+
1
2
c=b

(1)求角A的大小;
(2)若a=1,求b+c的最大值并判断这时三角形的形状.
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在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2-b2=
2


3
3
acsinB

(1)求角B的大小;
(2)若b=


3
,且A∈(
π
6
π
2
)
,求a+c的取值范围.
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