a、b、c是△ABC的三边,求证a2+b2+c2<2(ab+bc+ac).

a、b、c是△ABC的三边,求证a2+b2+c2<2(ab+bc+ac).

题型:不详难度:来源:
a、b、c是△ABC的三边,求证a2+b2+c2<2(ab+bc+ac).
答案
证明:2(ab+bc+ac)可变形为
ab+bc+ac+ab+bc+ac
=a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
因三角形两边和大于第三边,
即b+c>a,a+c>b,a+b>c
故a2=a×a<a(b+c),b2=b×b<b(a+c),c2=c×c<c(a+b)
所以a2+b2+c2<a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)
∴a2+b2+c2<2(ab+bc+ac).
举一反三
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a2+c2-b2=
1
2
ac

(1)求cosB的值;
(2)求sin2
A+C
2
+cos2B
的值.
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在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2B+cosB=0.
(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)若 b=


7
,a+b=5,求△ABC的面积.
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已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C所对的边,且a2+b2=ab+c2,则∠C=______.
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已知向量


a
=(8cosα,2),


b
=(sinα-cosα,3),设函数f(α)=


a


b

(1)求函数f(α)的最大值;
(2)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别问a,b,c,f(A)=6,且△ABC的面积为3,b+c=2+3


2
,求a的值.
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在△ABC中,a2-c2+b2=ab,则角C的大小为(  )
A.30°B.45°C.60°D.120°
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