在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=13．（1）求sin2B+C2的值；（2）若a=3，求bc的最大值．

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=

1

3

．
（1）求sin²

B+C

2

的值；
（2）若a=

3

，求bc的最大值．

答案

（1）∵B+C=π-A，∴cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA
可得sin2

B+C

2

=

1

2

[1-cos(B+C)]=

1

2

(1+cosA)…（2分）
代入题中数据，可得sin2

B+C

2

=

1

2

(1+

1

3

)=

2

3

…（4分）
（2）∵由余弦定理，得

b2+c2-a2

2bc

=cosA=

1

3

∴

2

3

bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，…（6分）
又∵a=

3

，∴代入上式，解出bc≤

9

4

．
当且仅当 b=c=

3

2

时，bc=

9

4

取得最大值，故bc的最大值是

9

4

…（8分）