(1)用坐标法证明余弦定理:已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,求证:a2=b2+c2-2bccosA;(2)在△ABC中,角A、B、C所对
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(1)用坐标法证明余弦定理:已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,求证:a2=b2+c2-2bccosA; (2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2b=a+c,求角B的最大值; (3)如果三个正实数a,b,c满足a2=b2+c2-2bccosA,A∈(0,π),那么是否存在以a,b,c为三边的三角形?请说明理由. |
答案
(1)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AB的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则C(bcosA,bsinA),B(c,0) ∴=(c-bcosA,bsinA) ∴a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA;
(2)由2b=a+c,得到b=, 则cosB== =≥=, 由B∈(0,180°),cosB为减函数, 所以内角B的最大值为60°. (3)不妨假设不存在以a,b,c为三边的三角形,即 c+b<a ∴c2+b2+2cb<b2+c2-2bccosA ∴cosA<-1 ∵A∈(0,π), ∴矛盾 故假设不成立,即存在以a,b,c为三边的三角形 |
举一反三
△ABC中,若c=,则角C的度数是( )A.60° | B.120° | C.60°或120° | D.45° |
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△ABC中,已知AB=2,AC=2,则∠ACB的最大值为______. |
在△ABC中,AB=3, BC=, AC=4,则△ABC的面积为______. |
在锐角△ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量=(2sinB,),=(cos2B,cosB),且,向量共线. (1)求角B的大小; (2)如果b=1,求△ABC的面积S△ABC的最大值. |
在△ABC中,a2+b2+ab<c2,则△ABC是( )A.钝角三角形 | B.锐角三角形 | C.直角三角形 | D.形状无法确定已知方程 |
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