已知向量a=(cosωx,cosωx),b=(3sinωx,cosωx),其中0<ω<2,f(x)=a•b+12,其图象的一条对称轴为x=π6.(1)求f(x)

已知向量a=(cosωx,cosωx),b=(3sinωx,cosωx),其中0<ω<2,f(x)=a•b+12,其图象的一条对称轴为x=π6.(1)求f(x)

题型:不详难度:来源:
已知向量


a
=(cosωx,cosωx),


b
=(


3
sinωx,cosωx),其中0<ω<2,f(x)=


a


b
+
1
2
,其图象的一条对称轴为x=
π
6

(1)求f(x)的表达式;
(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,S为其面积,若f(
A
2
)=2 , b=2 , S=2


3
,求a的值.
答案
(1)∵向量


a
=(cosωx,cosωx),


b
=(


3
sinωx,cosωx),


a


b
=


3
sinωxcosωx+cosωx•cosωx
=


3
2
sinωx+
1
2
(1+cos2ωx)=sin(ωx+
π
6
)+
1
2

因此,f(x)=


a


b
+
1
2
=sin(ωx+
π
6
)+1
令ωx+
π
6
=
π
2
+kπ(k∈Z),得ωx=
π
3
+kπ(k∈Z),
∵图象的一条对称轴为x=
π
6
,∴ω•
π
6
=
π
3
+kπ(k∈Z),
由0<ω<2,取k=0得ω=2
因此,f(x)的表达式为:f(x)=sin(2x+
π
6
)+1;
(2)由(1)得f(
A
2
)=sin(A+
π
6
)+1=2,可得sin(A+
π
6
)=1
∴A+
π
6
=
π
2
+2kπ(k∈Z),结合A为三角形内角得A=
π
3

∵b=2,△ABC的面积S=2


3

1
2
bcsinA=2


3
,即
1
2
×2×c×sin
π
3
=2


3
,可得c=4
由余弦定理,得
a2=b2+c2-2bccosA=4+16-2×2×4×
1
2
=12
∴a=2


3
(舍负)
举一反三
在△ABC中,三边a、b、c所对的角分别为A、B、C,若a2+b2-c2+


2
ab=0,则角C的大小为(  )
A.
π
2
B.
3
4
π
C.
1
3
π
D.
2
3
π
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,A、B、C为三角形的内角,B=60°,b=ac,则A的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且tanB=


3
ac
a2+c2-b2
求∠B.
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc.
(1)求角A的值;
(2)在(1)的结论下,若0≤x≤
π
2
,求y=cos2x+sinA•sin2x的最值.
题型:青州市模拟难度:| 查看答案
(文)在△ABC中,a=3,b=5,C=120°,则c=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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