若三角形的三个角成等差级数,则其中有一个角一定是60°;若这样的三角形的三边又成等比级数,则三个角都是60°,试证明之.
题型:不详难度:来源:
若三角形的三个角成等差级数,则其中有一个角一定是60°;若这样的三角形的三边又成等比级数,则三个角都是60°,试证明之. |
答案
证①:设△ABC的三个角为A、B、C,由题意可得 B-A=C-B, ∴2B=A 但∵A+B+C=180°, 即3B=180°,B=60°. 证②:由(1)已知△ABC必有一个角为60°,今设∠B=60°. ∵△ABC的三边a,b,c成等比级数, ∴b2=ac. 又由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,b2=a2+c2-2ac, ∴a2+c2-2ac=0,(a-c)2=0∴a=c. ∵∠B=60°,BA=BC, ∴∠A=∠C=60° 故△ABC为等边三角形,即其三个内角均为60°. |
举一反三
一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角的正弦值为( ) |
在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则AC=______. |
若钝角△ABC三内角A、B、C的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比为m,则m的取值范围是( )A.(2,+∞) | B.(0,2) | C.[1,2] | D.[2,+∞) |
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△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式:S=c2-(a-b)2且a+b=2,求面积S的最大值. |
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