△ABC中,若已知三边为连续正整数,最大内角为钝角,①求最大角的余弦值; ②求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.
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△ABC中,若已知三边为连续正整数,最大内角为钝角, ①求最大角的余弦值; ②求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积. |
答案
(1)设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1(n∈N*且n>1), ∵(n-1)+n>n+1,∴n>2,得n是大于3的整数 ∵△ABC是钝角三角形,可得∠C为钝角,有cosC<0, 由余弦定理得:(n+1)2=(n-1)2+n2-2n(n-1)•cosC>(n-1)2+n2, 即(n-1)2+n2<(n+1)2⇒n2-4n<0⇒0<n<4, 因此,整数n的值为3,可得△ABC三边长分别为2,3,4. ∵cosC===- ∴最大角的余弦值为- (2)由(1)得,最大角C的正弦为sinC==, 设夹角C的平行四边形两边分别为m、n, ∵m+n=4,∴mn≤()2=4,当且仅当m=n=2时,mn的最大值为4 因此,平行四边形的面积S=mnsinC=mn≤×4= ∴当平行四边形两边都等于2时,夹角C的平行四边形面积最大值为. |
举一反三
在△ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,S为△ABC的面积.若向量=(4,a2+b2-c2),=(,S)满足∥,则∠C=______. |
在△ABC中,满足b2+c2-bc=a2,且=,则角C的值为( ) |
在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为( ) |
△ABC中,a=3,b=2,则c(acosB-bcosA)的值为( ) |
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足=,则角B=______. |
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