已知集合A={a1,a2,a3,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.(Ⅰ)设集合P={
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已知集合A={a1,a2,a3,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数. (Ⅰ)设集合P={2,4,6,8},Q={2,4,8,16},分别求l(P)和l(Q); (Ⅱ)对于集合A={a1,a2,a3,…,an},猜测ai+aj(1≤i<j≤n)的值最多有多少个; (Ⅲ)若集合A={2,4,8,…,2n},试求l(A). |
答案
(Ⅰ)因为集合P={2,4,6,8}, 所以2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14, 所以可得:l(P)=5. 因为集合Q={2,4,8,16}, 所以2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24, 所以可得:l(Q)=6. (Ⅱ)对于集合A={a1,a2,a3,…,an},ai+aj(1≤i<j≤n)的值最多有个. 因为在集合A的n个元素中任取一个元素,共有n种,再从余下的n-1个元素中任取一个元素, 共有n-1种.把取出的元素两两作和共有n(n-1)个, 因为aj+ai=ai+aj等情况, 所以对于集合A={a1,a2,a3,…,an},ai+aj(1≤i<j≤n)的值最多有个. (Ⅲ) 因为集合A={a1,a2,a3,…,an}最多有个ai+aj(1≤i<j≤n)的值, 所以l(A)≤. 又集合A={2,4,8,…,2n},任取ai+aj,ak+al(1≤i<j≤n,1≤k<l≤n), 当j≠l时,不妨设j<l,则ai+aj<2aj=2j+1≤al<ak+al,即ai+aj≠ak+al. 当j=l,i≠k时,ai+aj≠ak+al. 因此,当且仅当i=k,j=l时,ai+aj=ak+al. 即所有ai+aj(1≤i<j≤n)的值两两不同, 所以l(A)=. |
举一反三
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