若n∈N*,(1+2)n=2an+bn(an、bn∈Z).(1)求a5+b5的值;(2)求证:数列{bn}各项均为奇数.
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若n∈N*,(1+2)n=2an+bn(an、bn∈Z).(1)求a5+b5的值;(2)求证:数列{bn}各项均为奇数.
题型:普陀区二模
难度:
来源:
若n∈N
*
,
(1+
2
)
n
=
2
a
n
+
b
n
(a
n
、b
n
∈Z).
(1)求a
5
+b
5
的值;
(2)求证:数列{b
n
}各项均为奇数.
答案
(1)当n=5时,
(1+
2
)
5
=
C
05
+
C
15
2
+
C
25
(
2
)
2
+…+
C
55
(
2
)
5
=[
C
05
+
C
25
(
2
)
2
+
C
45
(
2
)
4
]+[
C
15
2
+
C
25
(
2
)
3
+
C
55
(
2
)
5
]
=41+
29
2
故a
5
=29,b
5
=41所以a
5
+b
5
=70
(2)证明:由数学归纳法
(i)当n=1时,易知b
1
=1,为奇数;
(ii)假设当n=k时,
(1+
2
)
k
=
2
a
k
+
b
k
,其中b
k
为奇数;
则当n=k+1时,
(1+
2
)
k+1
=
(1+
2
)
k
(1+
2
) =(
2
a
k
+
b
k
)(1+
2
)
=
2
(
a
k
+
b
k
)+(
b
k
+2
a
k
)
∴b
k+1
=b
k
+2a
k
,又a
k
、b
k
∈Z,所以2a
k
是偶数,
由归纳假设知b
k
是奇数,故b
k+1
也是奇数
综(i)(ii)可知数列{b
n
}各项均为奇数.
举一反三
如果
(x-
a
x
)
8
的展开式的常数项等于1120,那么实数a的值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知(3
3
x
2
-
1
x
)
n
的展开式中各项系数之和为256,则展开式中第7项的系数是( )
A.-24
B.24
C.-252
D.252
题型:武汉模拟
难度:
|
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(x
2
+3x+2)
5
的展开式中x的系数是______.
题型:不详
难度:
|
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在
(2
x
2
+
1
x
)
6
的展开式中x
3
的系数是______.
题型:不详
难度:
|
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在二项式(x
2
+x+1)(x-1)
5
的展开式中,含x
4
项的系数是( )
A.-25
B.-5
C.5
D.25
题型:杭州二模
难度:
|
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