若等差数列{an}的首项为a1=A2x-3x-1+Cx+12x-3(x>3),公差d是(x-2x)k的展开式中x2的系数,其中k为5555除以8的余数.(1)求
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若等差数列{an}的首项为a1=A2x-3x-1+Cx+12x-3(x>3),公差d是(x-2x)k的展开式中x2的系数,其中k为5555除以8的余数.(1)求
题型:不详
难度:
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若等差数列{a
n
}的首项为a
1
=A
2x-3
x-1
+C
x+1
2x-3
(x>3),公差d是
(
x
-
2
x
)
k
的展开式中x
2
的系数,其中k为55
55
除以8的余数.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)令b
n
=a
n
+15n-75,求证:
3
2
≤(1+
1
2
b
n
)
b
n
<
5
3
.
答案
(1)在a
1
=A
2x-3
x-1
+C
x+1
2x-3
(x>3),中,有
2x-3≥x-1
x+1≥2x-3
x∈N
x>3
⇒x=4,
∴a
1
=A
5
3
+C
5
5
=61,
又55
55
=(56-1)
55
=56m-1,m∈Z,∴55
55
除以8的余数为7,∴k=7,
因
(
x
-
2
x
)
7
的展开式中,通项为
C
r7
(
x
)
7-r
(-
2
x
)
r
,当r=1时,它是含x
2
的项,
∴
(
x
-
2
x
)
k
的展开式中x
2
的系数是:-C
7
1
×2=-14,
∴d=-14,
∴数列{a
n
}的通项公式a
n
=61+(n-1)×(-14)=75-14n,
(2)∵b
n
=a
n
+15n-75=75-14n+15n-75=n,
∴
(1+
1
2
b
n
)
b
n
=
(1+
1
2n
)
n
,数列{
(1+
1
2n
)
n
}是递增数列,
且当n=1时,
(1+
1
2n
)
n
=
3
2
,
由于
lim
n→∞
(1+
1
2n
)
n
=
[
lim
n→∞
(1+
1
2n
)
2n
]
1
2
=
e
,
∴当n→+∞时,
(1+
1
2n
)
n
→
e
<
5
3
,
∴
3
2
≤
(1+
1
2
b
n
)
b
n
<
5
3
.
举一反三
已知
(
x
+
1
3
x
2
)
n
(n∈
N
*
)
的展开式中,第5项的二次式系数与第3项的系数之比是3:2.
(1)求n的值;
(2)若展开式中各项的系数和为S,各项的二项式系数和为T,求
S
T
的值.
题型:不详
难度:
|
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(x-
2
x
)
n
展开式中第二项与第八项的二项式系数相等,则展开式中的常数项为______.
题型:不详
难度:
|
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已知(2x
lgx+lg2
+1)
n
展开式中最后三项的系数的和是方程lg(y
2
-72y-72)=0的正数解,它的中间项是
1
0
4+2lg
2
,求x的值.
题型:不详
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|
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已知
(
x
-
3
x
)
n
的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512,
(1)求展开式的所有有理项(指数为整数).
(2)求(1-x)
3
+(1-x)
4
+∧+(1-x)
n
展开式中x
2
项的系数.
题型:不详
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设f(x)=x
6
+6x
5
+15x
4
+20x
3
+15x
2
+6x+1,则当x=-2时,
3
f(x)
=______.
题型:不详
难度:
|
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