已知（1+2x）n展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的56，求该展开式中二项式系数最大的项．

题型：不详难度：来源：

已知（1+2

x

）ⁿ展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的

5

6

，求该展开式中二项式系数最大的项．

答案

根据题意，设该项为第r+1项，则有

C rn 2r=2 C r-1n 2r-1 C rn 2r= 5 6 C r+1n 2r+1

即

C rn = C r-1n C rn = 5 3 C r+1n

亦即

n=2r-1 n! r!(n-r)! = 5 3 n! (r+1)!(n-r-1)!

解得

r=4 n=7.

，∴n=7．
设第s+1项系数最大，则有

C s7 2s≥ C s-17 2s-1 C s7 2s≥ C s+17 2s+1

即

2 C s7 ≥ C s-17 C s7 ≥2 C s+17

亦即

2 7! s!(7-s)! ≥ 7! (s-1)!(7-s+1)! 7! s!(7-s)! ≥2 7! (s+1)!(7-s-1)!

解得

2 s ≥ 1 8-s 1 7-s ≥ 2 s+1

，

13

3

≤s≤

16

3

，∴s=5
∴二项式展开式中系数最大的项为T₆=672x  

5

2

．