四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,ABCE为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G、F分别是线段CE、PB的中点.(Ⅰ) 求证:FG∥

四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,ABCE为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G、F分别是线段CE、PB的中点.(Ⅰ) 求证:FG∥

题型:不详难度:来源:
四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,ABCE为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G、F分别是线段CE、PB的中点.

(Ⅰ) 求证:FG∥平面PDC;
(Ⅱ) 求二面角的正切值.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)二面角的正切值为
解析

试题分析:(Ⅰ)连结BD,因为E是AD的中点是CE的中点,所以BD过点,这样只需证即可;(Ⅱ)求二面角的正切值,需找出平面角,注意到PA⊥平面ABCD,F是线段PB的中点,取的中点,则⊥平面ABCD,过,垂足为,则即为二面角的平面角.
试题解析:(Ⅰ)证明:连结,因为E是AD的中点,是CE的中点,且ABCE为菱形,,所以点,且的中点,在中,又因为的中点,,又平面平面 ;
(Ⅱ)取的中点,因为的中点,,又因为平面平面,过,垂足为,连结,则即为二面角的平面角,
不妨令,则,有平面几何知识可知,所以二面角的正切值为 .

举一反三
如图,在四棱锥中,平面平面

(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)求二面角的大小.
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如图,已知四边形为梯形, ,四边形为矩形,且平面平面,点的中点.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求证:平面平面
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
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如图,在长方体中,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求平面把长方体 分成的两部分的体积比.
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如图,矩形,满足上,上,且,沿将矩形折起成为一个直三棱柱,使重合后分别记为,在直三棱柱中,点分别为的中点.

(I)证明:∥平面
(Ⅱ)若二面角为直二面角,求的值.
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如图,直三棱柱中,AB=BC,,Q是AC上的点,AB1//平面BC1Q.

(Ⅰ)确定点Q在AC上的位置;
(Ⅱ)若QC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为,求二面角Q-BC1—C的余弦值.
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