如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示. (Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)证明:∥平面; (Ⅲ)线段上是否存
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如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示. (Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)证明:∥平面; (Ⅲ)线段上是否存
题型:不详
难度:
来源:
如图1,四棱锥
中,
底面
,面
是直角梯形,
为侧棱
上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)证明:
平面
;
(Ⅱ)证明:
∥平面
;
(Ⅲ)线段
上是否存在点
,使
与
所成角的余弦值为
?若存在,找到所有符合要求的点
,并求
的长;若不存在,说明理由.
答案
(I)详见解析;(II)详见解析;(III)点
位于
点处,此时
;或
中点处,此时
.
解析
试题分析:(I)建立空间直角坐标系,写出点的坐标,线和面内两相交直线垂直,则线垂直面;(II)线与面内一直线平行,则线面平行;(III)利用数量积公式可得两直线夹角余弦.
试题解析:【方法一】
(Ⅰ)证明:由俯视图可得,
,
所以
. 1分
又因为
平面
,
所以
, 3分
所以
平面
. 4分
(Ⅱ)证明:取
上一点
,使
,连结
,
. 5分
由左视图知
,所以
∥
,
. 6分
在△
中,易得
,所以
.又
, 所以
,
.
又因为
∥
,
,所以
∥
,
.
所以四边形
为平行四边形,所以
∥
. 8分
因为
平面
,
平面
,
所以 直线
∥平面
. 9分
(Ⅲ)解:线段
上存在点
,使
与
所成角的余弦值为
.证明如下:10分
因为
平面
,
,建立如图所示的空间直角坐标系
.
所以
.
设
,其中
. 11分
所以
,
.
要使
与
所成角的余弦值为
,则有
, 12分
所以
,解得
或
,均适合
. 13分
故点
位于
点处,此时
;或
中点处,此时
,有
与
所成角的余弦值为
. 14分
【方法二】
(Ⅰ)证明:因为
平面
,
,建立如图所示
的空间直角坐标系
.
在△
中,易得
,所以
,
因为
, 所以
,
.
由俯视图和左视图可得:
.
所以
,
.
因为
,所以
. 2分
又因为
平面
,所以
, 3分
所以
平面
. 4分
(Ⅱ)证明:设平面
的法向量为
,则有
因为
,
,
所以
取
,得
. 6分
因为
,
所以
. 8分
因为
平面
,
所以 直线
∥平面
. 9分
(Ⅲ)解:线段
上存在点
,使
与
所成角的余弦值为
.证明如下:10分
设
,其中
. 11分
所以
,
.
要使
与
所成角的余弦值为
,则有
, 12分
所以
,解得
或
,均适合
. 13分
故点
位于
点处,此时
;或
中点处,此时
,有
与
所成角的余弦值为
. 14分
举一反三
如图,在长方体
中,
,
为
的中点,
为
的中点.
(I)求证:
平面
;
(II)求证:
平面
;
(III)若二面角
的大小为
,求
的长.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱柱
中,
是
上的点且
为
中
边上的高.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:
;
(Ⅲ)线段
上是否存在点
,使
平面
?说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图, 在三棱锥
中,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)若
,
,当三棱锥
的体积最大时,求
的长.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知矩形
中,
为
的中点,沿
将三角形
折起,使
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,
平面
凸多面体
的体积为
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求证:平面
平面
.
题型:不详
难度:
|
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